•

Updated Apr 14, 2026

•

11 pages

Goniometrické funkcie: Základy a vlastnosti

Goniometrické funkcie sú matematické nástroje, ktoré ti pomôžu pochopiť vzťahy... Show more

1 / 10

# Goniometrické funkcie

1. Prehľad a úvod

Goniometrické funkcie sú super dôležitá časť matematiky, ktorá sa zaoberá
vzťahmi medzi uhlami a

Základné definície a jednotková kružnica

Predstav si jednotkovú kružnicu - to je kružnica so stredom v bode [0,0] a polomerom r = 1. Je to tvoj hlavný nástroj na pochopenie goniometrie!

Keď máš bod P(x,y) na tejto kružnici, tak sínus uhla α je jednoducho y-ová súradnica tohto bodu a kosínus je x-ová súradnica. Takže sin α = y a cos α = x.

Tangens a kotangens sú trochu zložitejšie. Tangens je pomer tg α = sin α/cos α, zatiaľ čo kotangens je cotg α = cos α/sin α. Dávaj pozor - tangens nie je definovaný tam, kde cos α = 0!

Tip: Zapamätaj si prevod uhlov: 180° = π radiánov. Na prevod zo stupňov na radiány vynásob číslom π/180.

Pytagorova veta a základné vzťahy

Z jednotkovej kružnice vyplýva najdôležitejší vzťah v goniometrii: sin²α + cos²α = 1. Toto je Pytagorova goniometrická veta a bez nej sa nezaobídeš!

Ďalšie užitočné vzťahy, ktoré si treba zapamätať: tg α · cotg α = 1 (keď sú obe definované) a sin(π/2 - α) = cos α. Tiež si všimni, že cos(-α) = cos α (kosínus je párna funkcia) a sin(-α) = -sin α (sínus je nepárna funkcia).

Pre rýchle riešenie úloh si zapamätaj hodnoty pre dôležité uhly: sin 30° = 1/2, cos 30° = √3/2, sin 45° = cos 45° = √2/2, sin 60° = √3/2, cos 60° = 1/2.

Vlastnosti funkcií sínus a kosínus

Funkcia sínus má obor hodnôt <-1, 1> a periódu 2π. Jej graf vyzerá ako vlnka, ktorá začína v nule a stúpa. Je to nepárna funkcia, takže sin $-x$ = -sin(x).

Funkcia kosínus má rovnaké vlastnosti, len je posunutá - začína v hodnote 1. Je to párna funkcia, takže cos $-x$ = cos(x). Vlastne platí, že cos x = sin $x + π/2$ .

Obe funkcie majú nulové body - sínus v bodoch x = kπ a kosínus v bodoch x = π/2 + kπ, kde k je celé číslo. Tieto body sú super dôležité pri riešení rovníc!

Poznámka: Graf kosínusu je vlastne graf sínusu posunutý doľava o π/2.

Funkcie tangens a kotangens

Tangens je už trochu iný - má obor hodnôt celé reálne čísla R, ale nie je definovaný v bodoch x = π/2 + kπ. Tam má zvislé asymptoty a jeho perióda je len π.

Kotangens je podobný, len nie je definovaný v bodoch x = kπ. Obe funkcie sú nepárne, takže tg $-x$ = -tg(x) a cotg $-x$ = -cotg(x).

Na grafoch uvidíš, že tangens rastie od -∞ do +∞ v každom intervale dĺžky π, zatiaľ čo kotangens klesá. Nulové body tangensa jsou v bodoch x = kπ a kotangensa v bodoch x = π/2 + kπ.

Znamienka v kvadrantoch a praktické riešenie

V I. kvadrante $0 až π/2$ sú všetky funkcie kladné. V II. kvadrante $π/2 až π$ je kladný len sínus. V III. kvadrante $π až 3π/2$ sú kladné tangens a kotangens. V IV. kvadrante $3π/2 až 2π$ je kladný len kosínus.

Pri riešení úloh s uhlami nad 90° používaj referenčný uhol - to je uhol medzi daným lúčom a osou x. Potom len priraď správne znamienko podľa kvadrantu.

Napríklad pre 150°: referenčný uhol je 30°, si v II. kvadrante, takže sin 150° = +sin 30° = 1/2, ale cos 150° = -cos 30° = -√3/2.

Trik: Zapamätaj si "CAST" - v kvadrantoch I, II, III, IV sú postupne kladné: Cosinus, All (všetky), Sinus, Tangens.

Riešené príklady a aplikácie

Pri zjednodušovaní výrazov často používaj Pytagorovu vetu sin²x + cos²x = 1. Napríklad $1 - cos²x$ / $1 - cos x$ = sin²x/ $1 - cos x$ = $1 - cos x$ $1 + cos x$ / $1 - cos x$ = 1 + cos x.

Na určenie oboru hodnôt si pamätaj základné rozsahy: keď máš f(x) = 3sin x - 2, tak z -1 ≤ sin x ≤ 1 dostaneš -3 ≤ 3sin x ≤ 3, a po odčítaní 2 máš -5 ≤ f(x) ≤ 1.

Jednotková kružnica je tvoj najlepší kamarát - ak ju dobre pochopíš, nemusíš si pamätať všetky vzorce. Stačí si predstaviť bod na kružnici a jeho súradnice ti dajú sin a cos daného uhla.

We thought you’d never ask...

What is the Knowunity AI companion?

Our AI Companion is a student-focused AI tool that offers more than just answers. Built on millions of Knowunity resources, it provides relevant information, personalised study plans, quizzes, and content directly in the chat, adapting to your individual learning journey.

Where can I download the Knowunity app?

You can download the app from Google Play Store and Apple App Store.

Is Knowunity really free of charge?

That's right! Enjoy free access to study content, connect with fellow students, and get instant help – all at your fingertips.

Most popular content

Ohybné slovné druhy

Zopakujú si podstatné mená, prídavné mená, zámená, číslovky a slovesá, ich skloňovanie a časovanie.

Slovenský jazyk

Kvarta

Slovné druhy

Zopakujeme si rozdelenie slov na ohybné a neohybné a ich základné charakteristiky, aby sme si osviežili pamäť.

Slovenský jazyk

8. roč.

Časy (Tenses)

Zopakujete si prítomné, minulé a budúce časy a naučíte sa ich správne rozlišovať a používať. Zameriate sa aj na predprítomný čas (Present Perfect) a jeho porovnanie s minulým jednoduchým časom (Past Simple).

Angličtina

9. roč.

Percentá a promile

Budú precvičovať výpočet percentovej časti, základu a počtu percent, vrátane úloh na percentuálny nárast a pokles, a spoznajú aj promile.

Matematika

8. roč.

Neohybné slovné druhy

Prehĺbia si poznatky o prísloviach, predložkách, spojkách, časticiach a citoslovciach a ich funkciách vo vete.

Slovenský jazyk

Kvarta

Číslovky

Rozlíšime základné, radové, násobné a skupinové číslovky. Naučíme sa ich správne používať a skloňovať.

Slovenský jazyk

Sekunda

Prídavné mená

Naučíme sa stupňovať prídavné mená a rozlišovať ich druhy (akostné, vzťahové, privlastňovacie). Precvičíme si ich skloňovanie.

Slovenský jazyk

Sekunda

Literárne druhy a žánre

Rozlíšia lyriku, epiku a drámu a spoznajú ich typické žánre (napr. román, poviedka, báseň, dráma).

Slovenský jazyk

Kvarta

Lexikológia – Slovná zásoba

Rozšírime si poznatky o pôvode slov, ich význame, vzťahoch medzi slovami (synonymá, antonymá, homonymá) a spôsoboch obohacovania slovnej zásoby.

Slovenský jazyk

Kvinta

Can't find what you're looking for? Explore other subjects.

Students love us — and so will you.

4.6/5

App Store

4.7/5

Google Play

The app is very easy to use and well designed. I have found everything I was looking for so far and have been able to learn a lot from the presentations! I will definitely use the app for a class assignment! And of course it also helps a lot as an inspiration.

Stefan S

iOS user

This app is really great. There are so many study notes and help [...]. My problem subject is French, for example, and the app has so many options for help. Thanks to this app, I have improved my French. I would recommend it to anyone.

Samantha Klich

Android user

Wow, I am really amazed. I just tried the app because I've seen it advertised many times and was absolutely stunned. This app is THE HELP you want for school and above all, it offers so many things, such as workouts and fact sheets, which have been VERY helpful to me personally.

Anna

iOS user

Best app on earth! no words because it’s too good

Thomas R

iOS user

Just amazing. Let's me revise 10x better, this app is a quick 10/10. I highly recommend it to anyone. I can watch and search for notes. I can save them in the subject folder. I can revise it any time when I come back. If you haven't tried this app, you're really missing out.

Basil

Android user

This app has made me feel so much more confident in my exam prep, not only through boosting my own self confidence through the features that allow you to connect with others and feel less alone, but also through the way the app itself is centred around making you feel better. It is easy to navigate, fun to use, and helpful to anyone struggling in absolutely any way.

David K

iOS user

The app's just great! All I have to do is enter the topic in the search bar and I get the response real fast. I don't have to watch 10 YouTube videos to understand something, so I'm saving my time. Highly recommended!

Sudenaz Ocak

Android user

In school I was really bad at maths but thanks to the app, I am doing better now. I am so grateful that you made the app.

Greenlight Bonnie

Android user

very reliable app to help and grow your ideas of Maths, English and other related topics in your works. please use this app if your struggling in areas, this app is key for that. wish I'd of done a review before. and it's also free so don't worry about that.

Rohan U

Android user

I know a lot of apps use fake accounts to boost their reviews but this app deserves it all. Originally I was getting 4 in my English exams and this time I got a grade 7. I didn’t even know about this app three days until the exam and it has helped A LOT. Please actually trust me and use it as I’m sure you too will see developments.

Xander S

iOS user

THE QUIZES AND FLASHCARDS ARE SO USEFUL AND I LOVE Knowunity AI. IT ALSO IS LITREALLY LIKE CHATGPT BUT SMARTER!! HELPED ME WITH MY MASCARA PROBLEMS TOO!! AS WELL AS MY REAL SUBJECTS ! DUHHH 😍😁😲🤑💗✨🎀😮

Elisha

iOS user

This apps acc the goat. I find revision so boring but this app makes it so easy to organize it all and then you can ask the freeeee ai to test yourself so good and you can easily upload your own stuff. highly recommend as someone taking mocks now

Paul T

iOS user

Stefan S

iOS user

Samantha Klich

Android user

Anna

iOS user

Best app on earth! no words because it’s too good

Thomas R

iOS user

Basil

Android user

David K

iOS user

Sudenaz Ocak

Android user

In school I was really bad at maths but thanks to the app, I am doing better now. I am so grateful that you made the app.

Greenlight Bonnie

Android user

Rohan U

Android user

Xander S

iOS user

Elisha

iOS user

Paul T

iOS user

Matematika

•

104

•

Updated Apr 14, 2026

•

11 pages

Goniometrické funkcie: Základy a vlastnosti

Goniometrické funkcie sú matematické nástroje, ktoré ti pomôžu pochopiť vzťahy medzi uhlami a ich súradnicami na jednotkovej kružnici. Tieto funkcie sa používajú všade - od fyziky cez hudbu až po počítačovú grafiku, takže ich určite využiješ v praxi!

Sign up to see the contentIt's free!

Access to all documents

Improve your grades

Join milions of students

Základné definície a jednotková kružnica

Predstav si jednotkovú kružnicu - to je kružnica so stredom v bode [0,0] a polomerom r = 1. Je to tvoj hlavný nástroj na pochopenie goniometrie!

Keď máš bod P(x,y) na tejto kružnici, tak sínus uhla α je jednoducho y-ová súradnica tohto bodu a kosínus je x-ová súradnica. Takže sin α = y a cos α = x.

Tip: Zapamätaj si prevod uhlov: 180° = π radiánov. Na prevod zo stupňov na radiány vynásob číslom π/180.

Sign up to see the contentIt's free!

Access to all documents

Improve your grades

Join milions of students

Pytagorova veta a základné vzťahy

Z jednotkovej kružnice vyplýva najdôležitejší vzťah v goniometrii: sin²α + cos²α = 1. Toto je Pytagorova goniometrická veta a bez nej sa nezaobídeš!

Pre rýchle riešenie úloh si zapamätaj hodnoty pre dôležité uhly: sin 30° = 1/2, cos 30° = √3/2, sin 45° = cos 45° = √2/2, sin 60° = √3/2, cos 60° = 1/2.

Sign up to see the contentIt's free!

Access to all documents

Improve your grades

Join milions of students

Vlastnosti funkcií sínus a kosínus

Funkcia sínus má obor hodnôt <-1, 1> a periódu 2π. Jej graf vyzerá ako vlnka, ktorá začína v nule a stúpa. Je to nepárna funkcia, takže sin $-x$ = -sin(x).

Funkcia kosínus má rovnaké vlastnosti, len je posunutá - začína v hodnote 1. Je to párna funkcia, takže cos $-x$ = cos(x). Vlastne platí, že cos x = sin $x + π/2$ .

Obe funkcie majú nulové body - sínus v bodoch x = kπ a kosínus v bodoch x = π/2 + kπ, kde k je celé číslo. Tieto body sú super dôležité pri riešení rovníc!

Poznámka: Graf kosínusu je vlastne graf sínusu posunutý doľava o π/2.

Sign up to see the contentIt's free!

Access to all documents

Improve your grades

Join milions of students

Funkcie tangens a kotangens

Tangens je už trochu iný - má obor hodnôt celé reálne čísla R, ale nie je definovaný v bodoch x = π/2 + kπ. Tam má zvislé asymptoty a jeho perióda je len π.

Kotangens je podobný, len nie je definovaný v bodoch x = kπ. Obe funkcie sú nepárne, takže tg $-x$ = -tg(x) a cotg $-x$ = -cotg(x).

Na grafoch uvidíš, že tangens rastie od -∞ do +∞ v každom intervale dĺžky π, zatiaľ čo kotangens klesá. Nulové body tangensa jsou v bodoch x = kπ a kotangensa v bodoch x = π/2 + kπ.

Sign up to see the contentIt's free!

Access to all documents

Improve your grades

Join milions of students

Znamienka v kvadrantoch a praktické riešenie

Pri riešení úloh s uhlami nad 90° používaj referenčný uhol - to je uhol medzi daným lúčom a osou x. Potom len priraď správne znamienko podľa kvadrantu.

Napríklad pre 150°: referenčný uhol je 30°, si v II. kvadrante, takže sin 150° = +sin 30° = 1/2, ale cos 150° = -cos 30° = -√3/2.

Trik: Zapamätaj si "CAST" - v kvadrantoch I, II, III, IV sú postupne kladné: Cosinus, All (všetky), Sinus, Tangens.

Sign up to see the contentIt's free!

Access to all documents

Improve your grades

Join milions of students

Riešené príklady a aplikácie

Na určenie oboru hodnôt si pamätaj základné rozsahy: keď máš f(x) = 3sin x - 2, tak z -1 ≤ sin x ≤ 1 dostaneš -3 ≤ 3sin x ≤ 3, a po odčítaní 2 máš -5 ≤ f(x) ≤ 1.

Sign up to see the contentIt's free!

Access to all documents

Improve your grades

Join milions of students

Sign up to see the contentIt's free!

Access to all documents

Improve your grades

Join milions of students

Sign up to see the contentIt's free!

Access to all documents

Improve your grades

Join milions of students

Sign up to see the contentIt's free!

Access to all documents

Improve your grades

Join milions of students